Ejercicios de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Ejercicios De Inecuaciones Lineales Con Dos Incógnitas - Mercadillo5
Índice de Contenido
  1. 1. ¿Qué son las inecuaciones lineales con dos incógnitas?
  2. 2. Propiedades de las inecuaciones lineales con dos incógnitas
    1. 2.1 Propiedad de adición y sustracción
    2. 2.2 Propiedad de multiplicación y división por un número positivo
    3. 2.3 Propiedad de multiplicación y división por un número negativo
  3. 3. Métodos de resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas
    1. 3.1 Método gráfico
    2. 3.2 Método de sustitución
    3. 3.3 Método de eliminación
  4. 4. Ejercicios resueltos de inecuaciones lineales con dos incógnitas
    1. 4.1 Ejercicio 1
    2. 4.2 Ejercicio 2
    3. 4.3 Ejercicio 3
    4. 4.4 Ejercicio 4
    5. 4.5 Ejercicio 5
  5. Conclusión
    1. Preguntas frecuentes

1. ¿Qué son las inecuaciones lineales con dos incógnitas?

Las inecuaciones lineales con dos incógnitas son desigualdades que involucran dos variables y se representan mediante símbolos matemáticos como "<" (menor que), ">" (mayor que), "<=" (menor o igual que) o ">=" (mayor o igual que). Estas inecuaciones permiten establecer relaciones de orden entre las variables y determinar los conjuntos de soluciones que satisfacen la desigualdad.

Por ejemplo, una inecuación lineal con dos incógnitas sería: 2x + 3y < 10. En esta expresión, x e y son las incógnitas y la desigualdad establece que la suma de 2 veces x más 3 veces y debe ser menor que 10.

2. Propiedades de las inecuaciones lineales con dos incógnitas

2.1 Propiedad de adición y sustracción

En las inecuaciones lineales con dos incógnitas, se pueden sumar o restar cantidades a ambos lados de la desigualdad sin alterar la relación de orden. Por ejemplo, si tenemos la inecuación 2x + 3y < 10, podemos sumar 5 a ambos lados y obtener 2x + 3y + 5 < 15.

2.2 Propiedad de multiplicación y división por un número positivo

Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una inecuación lineal con dos incógnitas por un número positivo, la relación de orden se mantiene. Por ejemplo, si tenemos la inecuación 2x + 3y < 10, podemos multiplicar ambos lados por 2 y obtener 4x + 6y < 20.

2.3 Propiedad de multiplicación y división por un número negativo

Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una inecuación lineal con dos incógnitas por un número negativo, la relación de orden se invierte. Por ejemplo, si tenemos la inecuación 2x + 3y < 10, podemos multiplicar ambos lados por -1 y obtener -2x - 3y > -10.

3. Métodos de resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas

3.1 Método gráfico

El método gráfico consiste en representar las inecuaciones lineales con dos incógnitas en un plano cartesiano y determinar el área sombreada que representa las soluciones de la desigualdad. Para ello, se traza la recta correspondiente a la igualdad y se elige un punto de prueba para determinar en qué lado de la recta se encuentra la solución.

3.2 Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una de las variables en una de las inecuaciones y sustituirla en la otra. Luego, se resuelve la inecuación resultante con una sola incógnita y se obtiene el conjunto de soluciones.

3.3 Método de eliminación

El método de eliminación se utiliza cuando las inecuaciones lineales con dos incógnitas están en forma de sistema. Consiste en multiplicar una o ambas inecuaciones por un número adecuado para que los coeficientes de una de las variables se cancelen al sumar o restar las ecuaciones. Luego, se resuelve la inecuación resultante con una sola incógnita y se obtiene el conjunto de soluciones.

4. Ejercicios resueltos de inecuaciones lineales con dos incógnitas

4.1 Ejercicio 1

Resolver la siguiente inecuación: 3x + 2y ? 12

Solución:

Para resolver esta inecuación, podemos usar el método gráfico. Primero, representamos la igualdad 3x + 2y = 12 en un plano cartesiano. Luego, elegimos un punto de prueba, por ejemplo (0,0), y lo sustituimos en la inecuación original:

3(0) + 2(0) ? 12

0 ? 12

Como esta desigualdad es verdadera, el punto (0,0) está en el lado sombreado de la recta y forma parte de la solución. Por lo tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es {(x, y) | 3x + 2y ? 12}.

4.2 Ejercicio 2

Resolver la siguiente inecuación: -2x + 5y > 10

Solución:

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Para resolver esta inecuación, podemos usar el método de sustitución. Despejamos x en términos de y en la inecuación:

-2x > -5y + 10

x < (5y - 10) / 2Ahora, sustituimos esta expresión en la inecuación original:-2((5y - 10) / 2) + 5y > 10

-5y + 10 + 5y > 10

0 > 0

Como esta desigualdad es falsa, no existen soluciones para la inecuación. Por lo tanto, el conjunto de soluciones es vacío.

4.3 Ejercicio 3

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

2x - 3y ? 4
x + y < 3Solución:Para resolver este sistema de inecuaciones, podemos usar el método de eliminación. Multiplicamos la segunda inecuación por 2 para igualar los coeficientes de x:2x - 3y ? 4 2x + 2y < 6Sumamos las inecuaciones:(2x - 3y) + (2x + 2y) ? 4 + 64x - y ? 10Ahora, despejamos y en términos de x:y ? 4x - 10El conjunto de soluciones de este sistema de inecuaciones es {(x, y) | y ? 4x - 10}.

4.4 Ejercicio 4

Resolver la siguiente inecuación: 3x - 2y > 5

Solución:

Para resolver esta inecuación, podemos usar el método gráfico. Primero, representamos la igualdad 3x - 2y = 5 en un plano cartesiano. Luego, elegimos un punto de prueba, por ejemplo (0,0), y lo sustituimos en la inecuación original:

3(0) - 2(0) > 5

0 > 5

Como esta desigualdad es falsa, el punto (0,0) está en el lado no sombreado de la recta y no forma parte de la solución. Por lo tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es {(x, y) | 3x - 2y > 5}.

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4.5 Ejercicio 5

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

x + 2y < 4 3x - y ? 6Solución:Para resolver este sistema de inecuaciones, podemos usar el método de sustitución. Despejamos x en términos de y en la primera inecuación:x < 4 - 2yAhora, sustituimos esta expresión en la segunda inecuación:3(4 - 2y) - y ? 612 - 6y - y ? 611 - 7y ? 6-7y ? -5y ? 5/7El conjunto de soluciones de este sistema de inecuaciones es {(x, y) | x < 4 - 2y y ? 5/7}.

Conclusión

Las inecuaciones lineales con dos incógnitas permiten establecer relaciones de orden entre dos variables y determinar los conjuntos de soluciones que satisfacen las desigualdades. Existen diferentes propiedades y métodos de resolución que nos permiten encontrar estos conjuntos de soluciones. Al resolver los ejercicios propuestos, hemos visto cómo utilizar el método gráfico, de sustitución y de eliminación para encontrar los conjuntos de soluciones de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Esperamos que este artículo te haya ayudado a comprender y resolver ejercicios de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Recuerda practicar y seguir estudiando para mejorar tus habilidades matemáticas.

Preguntas frecuentes

1. ¿Cuál es la diferencia entre una igualdad y una inecuación?

Una igualdad establece que dos expresiones son iguales, mientras que una inecuación establece una relación de orden entre dos expresiones.

2. ¿Cuál es el conjunto de soluciones de una inecuación?

El conjunto de soluciones de una inecuación son los valores que satisfacen la desigualdad.

3. ¿Qué método se utiliza para resolver inecuaciones lineales con dos incógnitas?

Se pueden utilizar diferentes métodos, como el método gráfico, el método de sustitución y el método de eliminación.

4. ¿Cuándo se invierte la relación de orden en una inecuación al multiplicar o dividir por un número negativo?

La relación de orden se invierte cuando se multiplica o divide ambos lados de la inecuación por un número negativo.

5. ¿Cuál es la importancia de resolver inecuaciones lineales con dos incógnitas?

Resolver inecuaciones lineales con dos incógnitas es fundamental para comprender y resolver problemas de la vida real que involucran relaciones de orden y restricciones en variables.

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